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Coursera ML, Lecture 4 : Analytic Computation

February 3, 2021 • 201 words

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Contents

Normal Equation
- Noninvertible Case

Normal Equation

Iteration을 통해 극소점에 수렴하는 것이 아니라, Analytically 최적해 $\theta$를 구하는 방법.
ex) $J(\theta) = a\theta^2 + b\theta + c$ ($a > 0$) 를 최소화하는 $\theta$ 는 $-\frac{b}{2a}$ 임을 쉽게 알 수 있다.
How to do for vector parameter $J$?
=> Vector Calculus. $\pdv{}{\theta_i} J(\theta)$ 가 모두 0이 되는 $\theta$ 를 찾으면 된다.
Parameter들을 행렬 $X$로 만들고, 이에 대응하는 값들을 $y$로 만들자.
$\theta = (X^T X)^{-1} X^T y$ 가 우리의 Linear Regression에 대응함이 알려져 있다.
Feature scaling 같은 테크닉 불필요.
Gradient Descent에 대비하여..
- 장점 : $\alpha$를 생각하지 않아도 되고, 반복적으로 적절한 $\alpha$를 찾을 필요가 없다.
- 단점 : 행렬곱셈 및 inverse는 굉장히 느림. 특히 $n$이 크면 행렬곱셈을 쓰기 어렵다.

Noninvertible Case

$(X^T X)$가 invertible하지 않으면??
Pseudoinverse (octave pinv 함수)
크게 두 가지 경우
- 두 feature가 사실 linear 관계에 있는 경우.
  - ex) size in feet^2 와 size in m^2
  - Design matrix $X$가 dependent column 가진다.
  - Redundant features -> Throw away.
- Too many features.
  - Data는 적은데 feature는 많은 경우.
  - Feature 몇개 버리기 / 또는 Regularization.

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