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## νλ₯ λ³μμ νλ₯  μ§λ/λ°λ ν¨μ

λ¨Όμ  μ μλ‘ μμν©λλ€. μ μ : νλ₯ λ³μ
μ¬λ¬ κ²°κ³Όκ° κ°λ₯νκ³  κ° κ²°κ³Όμ νλ₯ μ΄ λΆμ¬λλ μ€νμ λλ€ν μ€ν (random experiment) λΌ νκ³ , κ·Έ κ°λ₯ν κ²°κ³Ό μ§ν©μ νλ³Έκ³΅κ°μΌλ‘ λνλΈλ€. μ΄λ, μ΄ νλ³Έκ³΅κ° μμμ μ μλ μ€μκ° ν¨μλ₯Ό νλ₯ λ³μλΌ νλ€.
μ¦, νλ₯ λ³μλ νλ₯ μ΄ μ μλλ νλ³Έκ³΅κ° μ μ μμ­μΌλ‘, μ€μ λ₯Ό μΉμ­μΌλ‘ νλ ν¨μλ₯Ό λ§ν©λλ€. μλ₯Ό λ€μ΄, βμ£Όμ¬μμ λβ μ 1λΆν° 6κΉμ§μ κ° λμ΄ λμ€λ μ¬κ±΄λ€μ΄ νλ³Έκ³΅κ°μ΄ λλ©° κ° νλ₯ μ΄ 1/6μΈ νλ₯ λ³μκ° λ©λλ€.

νλ₯ λ³μ $X$μ μΉμ­μ΄ μ΄μ°μ μΈμ§ ($\Set{x_1, \dots x_k}$), μ°μμ μΈμ§μ λ°λΌ μ΄μ°νλ₯ λ³μμ μ°μνλ₯ λ³μλ‘ κ΅¬λΆν©λλ€.

μ΄λ, κ°κ°μ λν΄ νλ₯  μ§λ/λ°λ ν¨μλ₯Ό μ μν©λλ€. μ μ : νλ₯ μ§λν¨μ
μ΄μ°νλ₯ λ³μ $X$μμ, ν¨μ $f(x_i) = \P(X = x_i)$ λ₯Ό $X$μ νλ₯ μ§λν¨μ (probability mass function) λΌ νλ€.

μ΄μ°νλ₯ λ³μμ νλ₯  μ§λ ν¨μλ λ€μκ³Ό κ°μ μ±μ§μ λ§μ‘±ν©λλ€.

• $f(x) \geq 0$, $f(x) = 0$ if $x \neq x_k$ for some $k$.
• $\sum_{x} f(x) = 1$
• $\sum_{x \in A} f(x) = \P(X \in A)$

μ°μνλ₯ λ³μμ κ²½μ°, μκ°νλ λ°©λ²μ΄ μ‘°κΈ λ€λ¦λλ€. μλ₯Ό λ€μ΄ $[0, 1]$ κ΅¬κ°μμ μμ ν λλ€νκ² μμμ μ μ νλ ννλλ°, κ·Έ μ μ΄ μ νν $1/2$ μΌ νλ₯ μ μΌλ§λΌκ³  νλλΌλ μ΄μν©λλ€.

• μ΄ νλ₯ μ΄ μ΄λ€ μ€μ $\epsilon > 0$ μ΄λΌλ©΄,
• $1/\epsilon$ λ³΄λ€ ν° μμ°μ $N$μ μ‘μμ $x_1, \dots x_N$μ μκ°ν  λ νν μ μ΄ μ΄λ€ μ€ νλμΌ νλ₯ μ΄ 1μ΄ λμ΄κ°λλ€.
• λ°λΌμ, νλ₯ μ κ³΅λ¦¬μ λ°λΌ $\P(X = 1/2)$ λ 0μ΄μ΄μΌ ν©λλ€. μ°μνλ₯ λ³μλ μ°λ¦¬κ° κ³ λ±νκ΅ λ λ°°μ΄ κΈ°νμ  νλ₯ μ²λΌ μκ°ν΄μΌ ν©λλ€. κ°λ³ κ°μ΄ μλ, κ΅¬κ° μ κΈ°λ³Έ λ¨μλ‘ μΌμ΅λλ€. λ°λλΌλ λ§λ κ·Έλ κ² μ΄ν΄νλ©΄ λλλ°, λΆνΌκ° μλ μ μ μκ°νλ©΄ μ κ΅¬μ¬μ νΉμ ν ν μ μ μ§λμ 0μ΄λΌκ³  ν΄μΌ νμ§λ§ μ μ²΄ μ κ΅¬μ¬μ μ§λμ κ°λ κ²κ³Ό λΉμ·ν μ΄μΉμλλ€.

μ μ : νλ₯ λ°λν¨μ
μ°μνλ₯ λ³μ $X$μμ, $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \dd{x} = \P(a \leq X \leq b)$ μΈ ν¨μ $f$ λ₯Ό $X$μ νλ₯ λ°λν¨μ (probability density function) λΌ νλ€.

κ±°μ λΉμ·ν μ±μ§μ pdfμ λν΄μλ λΌμν  μ μμ΅λλ€.

• $f(x) \geq 0$
• $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \dd{x} = 1$
• $\displaystyle\int_{A} f(x) \dd{x} = \P(X \in A)$

νλ₯ λ°λν¨μμ κ΄ν 3b1b μμ μΌλ‘λΆν°λ λ§μ insightλ₯Ό μ»μ μ μμ΅λλ€.

μ¬μ€μ, μΈ‘λλ₯Ό μ΄μ©νκ² λλ©΄ μ¬κΈ°μ μ΄μ°νκ³Ό μ°μνμ κ΅¬λΆνμ§ μμλ λ©λλ€. λμ€μ μΈ‘λμ κΈ°λ°ν νλ₯ λ‘ μ κ³΅λΆνκ³  ν¬μ€νν  μκ°μ΄ μκΈ΄νλ° μΈμ κ° λ μ§λ λͺ¨λ₯΄κ² μ΅λλ€. μ΄ν, νλ₯ μ§λν¨μμ νλ₯ λ°λν¨μλ₯Ό λͺ¨λ λ°λλΌλ μ©μ΄λ‘ ν΅μΌνκ² μ΅λλ€. λν μμΌλ‘λ, βμ λΆμ ν©μΌλ‘ λ°κΎΈλβ μμ΄λμ΄λ₯Ό ν΅ν΄ μ΄μ°ν νλ₯ λ³μμ λν΄ κ°λ¨ν λΌμν  μ μμΌλ―λ‘, λͺ¨λ  statementλ μ°μνμΈ κ²½μ°λ§ μ°κ² μ΅λλ€.

μ΄λ€ κ°μ΄ $t$ μ΄ν μΌ νλ₯ μ κ³ λ €νλ κ² λν λ§€μ° νν μΌμλλ€. μ μ : λμ λΆν¬ν¨μ
μ°μνλ₯ λ³μ $X$μμ, $\displaystyle F(t) = \int_{-\infty}^{t} f(x) \dd{x} = \P(X \leq t)$ μΈ ν¨μ $f$ λ₯Ό $X$μ λμ  λΆν¬ ν¨μλΌ νλ€.
κ°λ¨ν λ―Έμ λΆνμ μν΄, $f$κ° μ°μμΈ $t$μ λν΄μλ λ€μμ΄ μ±λ¦½ν©λλ€. $$F(t) = \int_{-\infty}^{t} f(x) \dd{x} \ \Rightarrow \ \dv{F}{t} = f(t)$$

## νλ₯ λ³μμ κΈ°λκ°κ³Ό λΆμ°

μ°λ¦¬κ° μ μκ³  μλ νκ· μ λ€μκ³Ό κ°μ΄ μ μν©λλ€. μ μ : νκ·
μ΄λ€ νλ₯ λ³μ $X$μ νλ₯ λ°λν¨μκ° $f$μΌ λ, $X$μ νλ₯ λΆν¬μ νκ· (mean)μ λ€μκ³Ό κ°μ΄ μ μλλ€.
$$\mu = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) \dd{x}$$

λ³΄λ€ μΌλ°μ μΌλ‘, νλ₯ λ³μ $X$μ λν΄ μ΄λ€ ν¨μ $g(X)$λ₯Ό μκ°ν  μ μκ³ , μ΄λβ¦ μ μ : κΈ°λκ°
μ΄λ€ νλ₯ λ³μ $X$μ νλ₯ λ°λν¨μκ° $f$μΌ λ, $g(X)$μ κΈ°λκ° (expectation)μ λ€μκ³Ό κ°μ΄ μ μλλ€. $$\E(g(X)) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x) \dd{x}$$

μ΄λ¬ν μ μλ€ λν μΈ‘λμ μν΄ λ³΄λ€ μμ°μ€λ½κ² μ μλκ³ , λͺ©νλ νλ₯ λ‘ μ΄ μλ μλ¦¬ν΅κ³μ μμΌλ―λ‘ μ΅λν μ€ν΅ν©λλ€.

κΈ°λκ°μ λν΄, λ€μκ³Ό κ°μ μ λ¦¬κ° μ μλ €μ Έ μμ΅λλ€. μ λ¦¬ : κΈ°λκ°μ μ νμ±
νλ₯ λ³μ $X, Y$μ μ€μ $a, b$μ λν΄, κΈ°λκ°μ μ νμ±μ΄ μ±λ¦½νλ€. $$\E(aX + bY) = a\E(X) + b\E(Y)$$

μ΄λ€ νλ₯ λ³μκ° νκ· μΌλ‘λΆν° μΌλ§λ λκ² λΆν¬ν΄ μλμ§λ₯Ό λνλ΄λ κ°μΌλ‘ λΆμ° μ μλλ€. μ μ : λΆμ°
μ΄λ€ νλ₯ λ³μ $X$μ νλ₯ λ°λν¨μκ° $f$μΌ λ, $X$μ νλ₯ λΆν¬μ λΆμ°(variance)μ λ€μκ³Ό κ°μ΄ μ μλλ€. λ¨, $\mu = \E(X)$. $$\V(X) = \E((X - \mu)^2)$$
μ¦ βνκ· μμ λ¨μ΄μ§ μ λβ, νΈμ°¨ μ μ κ³±μ νκ· μ μλ―Έν©λλ€.

λΆμ°μ μ€μ  κ³μ°μ μλμ κ°μ΄ μνν©λλ€. μ λ¦¬ : λΆμ°μ κ³μ° (μ ν-νμ )
νλ₯ λ³μ $X$μ λΆμ°μ λ€μκ³Ό κ°μ΄ κ³μ°ν  μ μλ€. $$\V(X) = \E((X - \mu)^2) = \E(X^2 - 2 \mu X + \mu^2) = \E(X^2) - 2\mu\E(X) + \mu^2 = \E(X^2) - \E(X)^2$$
μμ λΌμν κΈ°λκ°μ μ νμ±μ μν΄ λ°λ‘ μ λν  μ μμ΅λλ€. ($\mu$λ μ΄λ―Έ $\E$λ₯Ό μμ΄ κ²°κ³Όμ΄λ―λ‘ μμ)

λΆμ°μ μ νμ μ΄μ§ μμ§λ§, λ€μκ³Ό κ°μ κ³΅μμ΄ μ±λ¦½ν©λλ€. μ λ¦¬ : λΆμ°μ κ³μ°
νλ₯ λ³μ $X$ μ μ€μ $a, b$μ λν΄, λ€μμ΄ μ±λ¦½νλ€. $$\V(aX + b) = a^2 \V(X)$$
μκ°ν΄λ³΄λ©΄ μ΄ κ³΅μμ κ±°μ μλͺνλ°, μμλ₯Ό λνλ κ²μ νκ· μμ λ°μ΄ν°κ° λΆν¬ν μ λλ₯Ό λ°κΎΈμ§ μμΌλ―λ‘ $X - \mu$λ₯Ό μ·¨νλ κ³Όμ μμ λͺ¨λ λ μκ°κ³ , $aX$ λ νΈμ°¨λ₯Ό $\abs{a}$λ°°λ‘ λ§λ€κΈ° λλ¬Έμ κ·Έ μ κ³±μ κΈ°λκ°μ $a^2$λ°°κ° λ  κ²μλλ€.